Algebraische Zahlentheorie (WS 2022/23)

Dozent: O. Bräunling

Kurze Übersicht:

Die Algebraische Zahlentheorie ist einer der Grundpfeiler der modernen Zahlentheorie.

Ausgangspunkt ist die Frage, wie man Gleichungen löst, bei denen die Variablen nur ganzzahlige oder rationale Werte annehmen können.
Die Techniken dafür sind völlig anders gelagert als in der Analysis. Tatsächlich ist es sehr schwierig (und in einem gewissen Sinne beweisbar unmöglich) einer allgemeinen solchen Gleichung anzusehen, wie viele ganzzahlige Lösungen sie besitzt. Dennoch entwickelt sich eine sehr spannende Theorie. Eine fundamentale Idee liegt darin, statt in den gewöhnlichen Ganzzahlen Z in größeren Ringen zu rechnen (und dann von dort auf das Originalproblem zurückzuschließen). Geht man zu diesen größeren Ringen über, ändert sich allerdings die Menge der Primzahlen. Schlimmer noch, mitunter (aber nicht immer!) scheitert die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung.
Einerseits kann man dann aber beweisen, dass dieses Scheitern der Eindeutigkeit stets nur "endlich schlimm" ist. Mehr noch: Rechnet man mit Idealen in Dedekindringen (wir werden lernen, was dies ist) statt Elementen, so bleibt die Eindeutigkeit der Zerlegung stets erhalten.

Andererseits gibt einem die Theorie in jedem Fall starke Strukturen, Lösungen zu finden, die mit einer naiven Computersuche schwierig (oder früher gar völlig unmöglich) wären. Die kleinste Lösung von

x² - 61y² = 1

in positiven Ganzzahlen ist beispielsweise

x = 1766319049, y = 226153980.

Dies war in der indischen Schule der Zahlentheorie zwar schon sehr lange vor der Entwicklung der modernen Algebraischen Zahlentheorie bekannt, aber die Methoden, solche Lösungen schnell und effizient zu finden, wurden in der modernen Theorie revolutioniert und wesentlich erweitert.

Wir benutzen in diesem Kurs ein (Online-)Computer-Algebra System, und zwar SAGE/CoCalc. Keine Sorge: Sie müssen keine Software installieren und Sie müssen nicht programmieren können. Man kann SAGE über den Webbrowser laufen lassen. Ich erkläre alles, was man wissen muss, in der Vorlesung.

• SAGE/CoCalc läuft (ohne Notwendigkeit für einen Account) einfach im Webbrowser: https://www.cocalc.com
  Sie können, falls Ihre Internet-Verbindung manchmal unterbrochen ist und daher das Arbeiten im Webbrowser nicht zuverlässig funktioniert, SAGE auch herunterladen und offline benutzen: https://www.sagemath.org/download.html
  Dennoch ist die Benutzung im Webbrowser insgesamt angenehmer, vermute ich.
  
  Auch wenn es das auf den Webseiten auch gibt: Sie benötigen KEINEN Account, und erst recht keinen kostenpflichtigen Account.
  
  
• In unserer Materialsammlung weiter unten finden Sie auch "Sage Worksheets". Diese ---.sagews Dateien sind mehr oder weniger einfach Textdateien (sie können die Datei-Endung einfach zu .txt ändern und sehen es ja dann selbst).

Wann und wo?

Di 8-10, Saal G.13.18   (sorry, dass es so früh ist!)
Do 14-16, Saal G.13.18

Skript

Wir werden grob (also nicht wortgleich) dem großartigen Skript von René Schoof folgen (an dieser Stelle nochmal vielen Dank, dass wir das benutzen dürfen!)
  Skript (von René Schoof)

Literaturliste

1. H. P. F. Swinnerton-Dyer: A Brief Guide to Algebraic Number Theory   (dieses Buch schafft in am wenigsten Seiten am meisten Stoff! Es ist toll geschrieben, sehr kompakt, aber folgt einem etwas anderen Ablauf als wir das tun werden)
2. J. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie
3. S. Lang: Algebraic Number Theory.
4. J. Milne: Algebraic Number Theory.   (online verfügbar   https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ant.html )
5. F. Lorenz: Algebraische Zahlentheorie.